Question

某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當范圍內，決定對這種食品生產廠家提供政府補貼，設這種食品的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據市場調查，當16≤x≤24時，這種食品市場日供應量p萬千克與市場日需量q萬千克近似地滿足關系：p=2（x+4t-14），（x≥16，t≥0），q=24+8ln

20

x

，（16≤x≤24）．當p=q市場價格稱為市場平衡價格．
（1）將政府補貼表示為市場平衡價格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域；
（2）為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為每千克多少元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據條件建立函數(shù)關系即可求出函數(shù)的值域；
（2）根據函數(shù)的解析式解不等式即可．

解答： 解：（1）由P=Q得2（x+4t-14 ）=24+8ln

20

x

（16≤x≤24，t＞0）．t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）． 3分
∵t′=-

1

4

-

1

x

＜0，∴t是x的減函數(shù)．
∴t_min=

13

2

-

1

4

×24+ln

20

24

=

1

2

+ln

20

24

=

1

2

+ln

5

6

；5分
t_max=

13

2

-

1

4

×16+ln

20

16

=

5

2

+ln

5

4

，
∴值域為[

1

2

+ln

5

6

，

5

2

+ln

5

4

]7
（2）由（1）t=

13

2

-

1

4

x+ln

20

x

（16≤x≤24）．
而x=20時，t=

13

2

-

1

4

×20+ln

20

20

=1.5（元/千克） 9分
∵t是x的減函數(shù)．欲使x≤20，必須t≥1.5（元/千克）
要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為1.5元/千克．  2分

點評：本題主要考查函數(shù)的應用問題，解決的關鍵是能利用導數(shù)的工具性作用來判定函數(shù)單調性，進而得到函數(shù)的最值，屬于中檔題，易錯點就是對于表達式的準確表示．