Question

1．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于17克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)在為了解甲、乙兩廠產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取各10件樣品，測(cè)量樣品的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：克）•如圖是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
（1）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)A、B兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率
（2）從甲廠10件樣品中抽取2件，乙廠10件中抽取1件，若3件中優(yōu)等品的件數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從甲廠的10件樣品中有放回的隨機(jī)抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回的隨機(jī)抽取3件，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多1件的概率．（每次抽取一件）

Answer 1

分析 （1）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，由此能估計(jì)A、B兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率．
（2）X的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多1件包括3個(gè)事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠2件”，B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠1件”，C=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠1件，乙廠0件”．由此能求出抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠比乙廠多1件的概率．

解答 解：（1）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$．…（2分）
（2）X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$•$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$•$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$+$\frac{{C}_{6}^{1}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$•$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{1}}$=$\frac{1}{6}$，…（6分）

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{6}$

E（X）=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{13}{30}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{17}{10}$．…（8分）
（3）抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多1件包括3個(gè)事件，
即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠2件”，
B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠1件”，
C=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠1件，乙廠0件”．
P（A）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}$×${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{81}{1000}$，
P（B）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）×{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{162}{1000}$，
P（C）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}×{C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{36}{1000}$，…（11分）
抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠比乙廠多1件的概率為：
P（A）+P（B）+P（C）=$\frac{81}{1000}+\frac{162}{1000}+\frac{36}{1000}$=$\frac{279}{1000}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．