Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知D是由不等式組

x-y≥0 x+ 3 y≥0

所確定的平面區(qū)域，則圓x²+y²=4在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為

5π

6

；該弧上的點(diǎn)到直線(xiàn)3x+y+2=0的距離的最大值等于

2+

10

5

．

Answer 1

分析：結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫(huà)出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫(huà)出圖形，最后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
先設(shè)出與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)與圓相切求出直線(xiàn)方程，再求兩直線(xiàn)間的距離問(wèn)題即可（把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩直線(xiàn)間的距離求解）．

解答：解：滿(mǎn)足約束條的可行域D，
及圓x²+y²=4在區(qū)域D內(nèi)的弧，如下圖示：
∵直線(xiàn)x-y=0與直線(xiàn)x+

3

y=0
的傾斜角分別為45°以及150°；
∴圓在平面區(qū)域內(nèi)的弧長(zhǎng)為：

π

6

×2+

π

4

×2=

5π

6

．
設(shè)與直線(xiàn)3x+y+2=0平行的直線(xiàn)方程為：3x+y+c=0
當(dāng)直線(xiàn)3x+y+c=0與圓相切時(shí)，切點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離最遠(yuǎn)；
因?yàn)椋篸=

|c|

32+12

=2⇒c=-2

10

，（c=2

10

舍）
即切線(xiàn)方程為：3x+y-2

10

=0
此時(shí)兩平行線(xiàn)間的距離為：

|2-(-2 10 )|

32+12

=2+

10

5

．
即該弧上的點(diǎn)到直線(xiàn)3x+y+2=0的距離的最大值等于2+

10

5

．
故答案為：

5π

6

，2+

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．