Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-

3

cosx）（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值以及取最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A滿足f（

A

2

）=-

3

2

，a=3，b+c=2

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最大值，求出f（x）的最大值以及取最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=-

3

2

求出角A，再利用余弦定理和條件求出bc，代入三角形的面積公式求值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cosx(sinx-

3

cosx)=sinxcosx-

3

cos2x
=

sin2x

2

-

3 cos2x

2

-

3

2

=sin(2x-

π

3

)-

3

2

．（4分）
當(dāng)2x-

π

3

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即當(dāng)x∈{x|x=kπ+

5π

12

，k∈Z}時(shí)，f（x）取最大值1-

3

2

．（6分）
（Ⅱ）由 f(

A

2

)=-

3

2

得，sin(A-

π

3

)=0，
因?yàn)锳為△ABC內(nèi)角，所以A=

π

3

．（8分）
由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
把a=3，b+c=2

3

代入上式，解得bc=1．（10分）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式、兩角差的正弦公式、三角形的面積公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．