Question

函數(shù)f(x)=e-x•

x

則（　　）

• A、僅有最小值

  1

  2e

• B、僅有最大值

  1

  2e

• C、既有最小值0，也有最大值

  1

  2e

• D、既無最大值，也無最小值

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f′(x)=-e-x•

x

+

1

2

e-x•

1

x

=e-x•

1-2x

2 x

=0，得：x=

1

2

，由此求出函數(shù)f(x)=e-x•

x

在[0，

1

2

)單調(diào)遞增，在(

1

2

，+∞)單調(diào)遞減，f(x)=e-x•

x

≥0恒成立，由此能求出函數(shù)既有最小值0，也有最大值

1

2e

．

解答： 解：∵f(x)=e-x•

x

，∴函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），
由f′(x)=-e-x•

x

+

1

2

e-x•

1

x

=e-x•

1-2x

2 x

=0，得：x=

1

2

，
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

，由f′（x）＜0，得x＞

1

2

，
∴函數(shù)f(x)=e-x•

x

在[0，

1

2

)單調(diào)遞增，在(

1

2

，+∞)單調(diào)遞減，
又f(x)=e-x•

x

≥0恒成立，
∴x=0時(shí)函數(shù)f(x)=e-x•

x

取最小值0，
x=

1

2

時(shí)函數(shù)f(x)=e-x•

x

取最大值，最大值為

1

2e

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．