【題目】如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，也請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點(diǎn).

【解析】

（1）由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定定理，證得平面，得到，進(jìn)而得到，再由四邊形為正方形，所以，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）取的中點(diǎn)，分別連接，，，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定和性質(zhì)，即可求解.

（1）由題意，三棱柱為直三棱柱，所以，

又因?yàn)?/span>，，平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

在中，，，，所以，

又因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形，所以.

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明如下：取的中點(diǎn)，分別連接，，，

所以，分別為，的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>，分別是直三棱柱側(cè)棱，的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

又∵，平面，平面，所以平面平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

保費(fèi)

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（2）已知一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，數(shù)列滿足，，對(duì)任意，都有.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

組別

PM2.5濃度
（微克/立方米）

頻數(shù)（天）

頻率

第一組

（0，25]

3

0.15

第二組

（25，50]

12

0.6

第三組

（50，75]

3

0.15

第四組

（75，100]

2

0.1


（1）將這20天的測(cè)量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖． ①求圖4中a的值；
②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對(duì)于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個(gè)游戲項(xiàng)目，要參與游戲，均需每次先付費(fèi)元（不返還），游戲甲有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.

（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢數(shù)-付費(fèi)錢數(shù)），求的概率分布及期望；

（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，球的表面積為，球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且球分別與軸的正交半軸交于三點(diǎn)，已知球面上一點(diǎn).

（1）求兩點(diǎn)在球上的球面距離；

（2）過點(diǎn)作平面的垂線，垂足，求的坐標(biāo)，并計(jì)算四面體的體積；

（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校對(duì)高二年段的男生進(jìn)行體檢，現(xiàn)將高二男生的體重（kg）數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成6組，并繪制部分頻率分布直方圖（如圖所示）．已知第三組[60，65）的人數(shù)為200．根據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)，高二男生體重超過65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦．觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求體重在[60，65）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）用分層抽樣的方法從偏胖的學(xué)生中抽取6人對(duì)日常生活習(xí)慣及體育鍛煉進(jìn)行調(diào)查，則各組應(yīng)分別抽取多少人？

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高二男生的體重的中位數(shù)與平均數(shù)．

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