Question

3．已知橢圓的離心率$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，左焦點(diǎn)在直線2x-y+2=0上．
（1）求橢圓方程；
（2）若AB是過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的弦，AB的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，左焦點(diǎn)（-c，0）在直線2x-y+2=0上．求出c，a，從而得到橢圓方程；
（2）由傾斜角可得直線的斜率k=1，過(guò)焦點(diǎn)，從而得到直線方程，在根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解．

解答 解（1）由題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），焦點(diǎn)在直線2x-y+2=0上．
則得：-2c+2=0，解得：c=1；
∵橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{c}{{{a^{\;}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得：$a=\sqrt{5}$
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由題可得F（1，0），設(shè)直線過(guò)F，傾斜角$\frac{π}{4}$；
∴k=tan$\frac{π}{4}$=1
∴直線AB為y=x-1；
直線與橢圓相交A，B兩點(diǎn)：
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_{\;}}^2}}{5}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$化簡(jiǎn)得：9x²-10x-15=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{10}{9}$，${x_1}{x_2}=-\frac{15}{9}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{2}{x}_{1}}$
∴|AB|=$\frac{{16\sqrt{5}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法和橢圓與直線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．