Question

4．已知數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足2a_n=S_n+n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂（a_n+1），且M_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{M_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （l）證明：∵2a_n=S_n+n，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+n-1，即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2a_n-1+1+1=2（a_n-1+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴M_n=$\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．
∴$\frac{1}{M_n}=\frac{2}{{n（{n+1}）}}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
故數(shù)列$\left\{{\frac{1}{M_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和${T_n}=2[{（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]=2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考査了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．