Question

對于定義在實數集R上的兩個函數f（x），g（x），若存在一次函數h（x）=kx+b使得，對任意的x∈R，都有f（x）≥h（x）≥g（x），則把函數h（x）的圖象叫函數f（x），g（x）的“分界線”．現已知f（x）=（2x+2）e^x（e為自然對數的底數），g（x）=-x²+4x+1，又函數f（x），g（x）的一條“分界線”過點（0，1），則這條“分界線”的函數解析式為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：設h（x）=kx+1，利用h（x）≥g（x）得出k=4，再證明f（x）≥4x+1恒成立，設F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，利用導數工具求得F（x）_min=F（0）=1≥0，滿足要求．

解答： 解：設h（x）=kx+1，h（x）≥g（x）成立等價于x²+（k-4）x≥0恒成立，
∴△=（k-4）²≤0，解得k=4，
所以h（x）=4x+1．
下面證明f（x）≥4x+1恒成立．
設F（x）=f（x）-（4x+1）=（2x+2）e^x-4x-1，
則F′（x）=（2x+4）e^x-4，
當x=0時，F′（x）=0，當x＞0時，F′（x）＞0，當x＜0時，F′（x）＜0，
所以x=0是F（x）的極小值點，也是最小值點，∴F（x）≥F（0）=1≥0，
所以h（x）=4x+1滿足要求．
故答案為：h（x）=4x+1

點評：本題考查導數在求函數最大值和最小值中的應用和用導數討論函數的單調性，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．