【題目】為了配合新冠疫情防控,某市組織了以“停課不停學(xué),成長不停歇”為主題的“空中課堂”,為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況,從該市中抽取1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為了估計(jì)從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的概率,特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬的方法:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),依次用0,1,2,3,…9的前若干個數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的同學(xué),剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間不在[200,300)的同學(xué);再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組,代表線上學(xué)習(xí)的情況.
假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機(jī)數(shù),請根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率的值;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
(2)為了進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)查,用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué),在抽取的20人中,再從線上學(xué)習(xí)時間[350,450)(350分鐘至450分鐘之間)的同學(xué)中任意選擇兩名,求這兩名同學(xué)來自同一組的概率.
【答案】(1)0.4;(2)0.4
【解析】
(1)首先根據(jù)頻率分布直方圖求得線上學(xué)習(xí)時間在的頻率為;按照隨機(jī)模擬方法產(chǎn)生組隨機(jī)數(shù),讀取名同學(xué)中恰有人線上學(xué)習(xí)時間在的頻數(shù)為,最后根據(jù)古典概型概率公式求得該市名同學(xué)中恰有人線上學(xué)習(xí)時間在的概率為.
(2)先從人中抽取人,利用分層抽樣確定出中有人,中有人.列舉出所有基本樣本事件和“兩名同學(xué)來自同一組”這一事件包含的基本事件個數(shù),利用古典概率公式求得概率為.
解:(1)由頻率分布直方圖可知,線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的頻率為,所以可以用數(shù)字0,1,2,3表示線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的同學(xué),數(shù)字4,5,6,7,8,9表示線上學(xué)習(xí)時間不在[200,300)的同學(xué);觀察上述隨機(jī)數(shù)可得,3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的有191,271,932,812,431,393,027,730,206,433,138,602,共有12個.而基本事件一共有30個,根據(jù)古典概型的定義可知該市3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的概率為.
(2)抽取的20人中線上學(xué)習(xí)時間在[350,450)的同學(xué)有人,其中線上學(xué)習(xí)時間在[350,400)的同學(xué)有三名設(shè)為,線上學(xué)習(xí)時間在[400,450)的同學(xué)有兩名設(shè)為,從5名同學(xué)中任取2人的基本事件空間為,共有10個樣本點(diǎn);用表示“兩名同學(xué)來自同一組”這一事件,則,共有4個樣本點(diǎn),所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的圓心在直線:上,與直線:相切,截直線:所得的弦長為6.
(1)求圓M的方程;
(2)過點(diǎn)的兩條成角的直線分別交圓M于A,C和B,D,求四邊形面積的最大值.
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【題目】下列命題中,選項(xiàng)正確的是( )
A. 在回歸直線中,變量時,變量的值一定是15
B. 兩個變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)就越接近于1
C. 在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適,與帶狀區(qū)域的寬度無關(guān)
D. 若某商品的銷售量(件)與銷售價格(元/件)存在線性回歸方程為,當(dāng)銷售價格為10元時,銷售量為100件左右
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中, ,且平面, 為棱的中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)求證:平面平面;
(3)當(dāng)四面體的體積最大時,判斷直線與直線是否垂直,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為菱形, , 平面, , ∥, 為中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)求證: ;
(3)若為線段上的點(diǎn),當(dāng)三棱錐的體積為時,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是的中點(diǎn).
(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值;
(2)若是線段上任意一點(diǎn),且,求的最小值;
(3)若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),且,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)=-1時,求的單調(diào)區(qū)間及值域;
(2)若在()上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , 是的導(dǎo)數(shù),若存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 有兩個不同的零點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè), 是的兩個零點(diǎn),證明: .
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