【題目】已知,是的中點.
(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值;
(2)若是線段上任意一點,且,求的最小值;
(3)若點是內一點,且,求的最小值.
【答案】(1);(2);(3)6
【解析】
(1)根據(jù)向量數(shù)量積等于,可得,以為原點,為軸,為軸建立平面直角坐標系,根據(jù)向量加法、減法以及數(shù)量積的坐標表示即可求向量的夾角.
(2)以為原點,為軸,為軸建立平面直角坐標系,設,利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.
(3)設,可得,利用向量的數(shù)量積可得,,再將平方,根據(jù)向量數(shù)量積定義以及基本不等式即可求解.
(1)因為,所以,
以為原點,為軸,為軸建立平面直角坐標系.
令,則,
所以,
設向量,與向量的夾角為,
,
(2)因為,所以,
以為原點,為軸,為軸建立平面直角坐標系.
因為,則,
設
,
當且僅當時,的最小值是.
(3)設,
,
同理:,
當且僅當時,所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下,頻率分布直方圖如圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學生有240人,試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[25,30)內的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點,直線過坐標原點且直線與的斜率互為相反數(shù),直線與橢圓交于兩點且均不與點重合,設直線的斜率為,直線的斜率為.證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了配合新冠疫情防控,某市組織了以“停課不停學,成長不停歇”為主題的“空中課堂”,為了了解一周內學生的線上學習情況,從該市中抽取1000名學生進行調査,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200,300)的概率,特設計如下隨機模擬的方法:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),依次用0,1,2,3,…9的前若干個數(shù)字表示線上學習時間在[200,300)的同學,剩余的數(shù)字表示線上學習時間不在[200,300)的同學;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表線上學習的情況.
假設用上述隨機模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機數(shù),請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
(2)為了進一步進行調查,用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽出20名同學,在抽取的20人中,再從線上學習時間[350,450)(350分鐘至450分鐘之間)的同學中任意選擇兩名,求這兩名同學來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度(單位: )與孵化天數(shù)之間的關系,某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù):
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均溫度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天數(shù) | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
他們分別用兩種模型①,②分別進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖:
經(jīng)計算得,
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應選擇哪個模型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應用最小二乘法建立關于的線性回歸方程.(精確到0.1)
,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,若函數(shù)有三個不同的零點,,(其中),則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】如圖:
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,由有三個不同的零點
,如圖
令
得
為滿足有三個零點,如圖可得
,
點睛:本題考查了函數(shù)零點問題,先由導數(shù)求出兩個函數(shù)的單調性,繼而畫出函數(shù)圖像,再由函數(shù)的零點個數(shù)確定參量取值范圍,將問題轉化為函數(shù)的兩根問題來求解,本題需要化歸轉化,函數(shù)的思想,零點問題等較為綜合,有很大難度。
【題型】填空題
【結束】
17
【題目】已知等比數(shù)列的前項和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點O處,有一個可轉動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內部區(qū)域的面積為S.
(1)當0≤時,寫出S關于的函數(shù)表達式;
(2)若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”(OE自OA轉到OC,再回到OA,稱“一個來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉時所用時間),且轉動的角速度大小一定,設AB邊上有一點G,且∠AOG,求點G在“一個來回”中,被照到的時間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行”開展健步走積分獎勵活動.會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分),每多走2千步再積20分(不足2千步不積分).記年齡不超過40歲的會員為類會員,年齡大于40歲的會員為類會員.為了解會員的健步走情況,工會從兩類會員中各隨機抽取名會員,統(tǒng)計了某天他們健步走的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為, , , , , , , , 九組,將抽取的類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖, 類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表(圖、表如下所示).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)從該地區(qū)類會員中隨機抽取名,設這名會員中健步走的步數(shù)在千步以上(含千步)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)設該地區(qū)類會員和類會員的平均積分分別為和,試比較和的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y論).
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