Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2-ax+5a(x≥2) ax+5(x＜2)

（a為常數(shù)），
（1）對任意x₁，x₂∈R，當 x₁≠x₂時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求g（x）=x²-4ax+3在區(qū)間[1，3]上的最小值h（a）．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得函數(shù)f（x）在R上遞增，則有a＞0①，

a

2

≤2②，2a+5≤2²-2a+5③解出它們即可；
（2）求得g（x）的對稱軸，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，分①當2≤2a≤3，②當3＜2a≤8時，分別求得最小值即可．

解答： 解：（1）對任意x₁，x₂∈R，當 x₁≠x₂時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
則函數(shù)f（x）在R上遞增，即有a＞0①，

a

2

≤2②，2a+5≤2²-2a+5③
則由①②③，解得1≤a≤4；
（2）g（x）=x²-4ax+3=（x-2a）²+3-4a²，對稱軸x=2a，
由（1）得，2≤2a≤8，
①當2≤2a≤3即1≤a≤

3

2

時，g（x）_min=g（2a）=3-4a²，
②當3＜2a≤8即

3

2

＜a≤4時，區(qū)間[1，3]為減區(qū)間，則g（x）_min=g（3）=12-12a．
故h（a）=

3-4a2，1≤a≤ 3 2 12-12a， 3 2 ＜a≤4

．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，注意分界點，考查分類討論求二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯題．