Question

3．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，}&{x＞0}\\{-{2}^{x}+a，}&{x≤0}\end{array}\right.$有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤0
• B． 0＜a＜$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• D． a≤0或a＞1

Answer 1

分析 易知1是函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，}&{x＞0}\\{-{2}^{x}+a，}&{x≤0}\end{array}\right.$的零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）在（-∞，0]上沒(méi)有零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為a＞2^x，或a＜2^x在（-∞，0]上恒成立，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可．

解答 解：∵f（1）=lg1=0，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，
故-2^x+a＞0或-2^x+a＜0在（-∞，0]上恒成立，
即a＞2^x，或a＜2^x在（-∞，0]上恒成立，
故a＞1或a≤0；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．