Question

12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{acosB}{bcosA}$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得abcosB=（2c-b）bcosA，結合余弦定理可得bc=b²+c²-a²，由余弦定理可解得cosA=$\frac{1}{2}$，結合A的范圍即可求A的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可得c=2b，由余弦定理可得：a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+4b²-2b×$2b×\frac{1}{2}$，從而可解得b，c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2sinC-sinB}{sinB}=\frac{acosB}{bcosA}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{2c-b}$=$\frac{acosB}{bcosA}$，即abcosB=（2c-b）bcosA，
∴由余弦定理可得：ab$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=（2c-b）•b$•\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴整理可得：bc=b²+c²-a²，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴結合0＜A＜π，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵sinC=2sinB，
∴由正弦定理可得：c=2b，
∴由余弦定理可得：a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+4b²-2b×$2b×\frac{1}{2}$，可解得：b=$\sqrt{3}$，
∴c=2b=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應用，解題時注意分析角的范圍，屬于基本知識的考查．