Question

5．在△ABC中，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知和余弦定理，可得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
∴a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$
（Ⅱ）由（I）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，
∴$\sqrt{2}$cosA+cosC=$\sqrt{2}$cosA+cos（$\frac{3π}{4}$-A）
=$\sqrt{2}$cosA-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA
=sin（A+$\frac{π}{4}$）．
∵A∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），
故當(dāng)A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，sin（A+$\frac{π}{4}$）取最大值1，
即$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是余弦定理，和差角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．