Question

15．設直線l₁，l₂分別是函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$圖象上點P₁，P₂處的切線，l₁與l₂垂直相交于點P，且l₁，l₂分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （0，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 設出點P₁，P₂的坐標，求出原分段函數(shù)的導函數(shù)，得到直線l₁與l₂的斜率，由兩直線垂直求得P₁，P₂的橫坐標的乘積為1，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A，B兩點的縱坐標，得到|AB|，聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．

解答 解：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），
當0＜x＜1時，f′（x）=$-\frac{1}{x}$，當x＞1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴l(xiāng)₁的斜率${k}_{1}=-\frac{1}{{x}_{1}}$，l₂的斜率${k}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}$，
∵l₁與l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，
∴${k}_{1}•{k}_{2}=-\frac{1}{{x}_{1}}•\frac{1}{{x}_{2}}=-1$，即x₁x₂=1．
直線l₁：$y=-\frac{1}{{x}_{1}}（x-{x}_{1}）-ln{x}_{1}$，l₂：$y=\frac{1}{{x}_{2}}（x-{x}_{2}）+ln{x}_{2}$．
取x=0分別得到A（0，1-lnx₁），B（0，-1+lnx₂），
|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-（lnx₁+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2．
聯(lián)立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$|AB|•|x_P|=$\frac{1}{2}×2×\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{2}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}$．
∵函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上為減函數(shù)，且0＜x₁＜1，
∴${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}＞1+1=2$，則$0＜\frac{1}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}＜\frac{1}{2}$，
∴$0＜\frac{2}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}＜1$．
∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．
故選：A．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉化思想方法，屬中檔題．