Question

5．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C₁⊥CE
（2）求點(diǎn)C到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B₁C₁⊥CE．
（2）求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面B₁C₁E的距離．

解答 （1）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=0，∴B₁C₁⊥CE．
（2）解：設(shè)平面B₁C₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，-1，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{-y-2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
∵$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∴點(diǎn)C到平面B₁C₁E的距離為$\frac{|-1-2-1|}{\sqrt{1+4+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)C到平面B₁C₁E的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．