Question

15．關(guān)于函數(shù)$f（x）={2^{\frac{|x|}{{{x^2}+1}}}}$，有下列命題：①其圖象關(guān)于y軸對稱；②f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)；③f（x）的最大值為1；④對任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做為某一三角形的邊長．其中正確的序號是①④．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)的定義域，可判斷f（-x）=f（x），舉反例證明不是增函數(shù)，f（x）的最小值為2⁰=1，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$．從而確定答案．

解答 解：函數(shù)$f（x）={2^{\frac{|x|}{{{x^2}+1}}}}$的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
①f（-x）=${2}^{\frac{|-x|}{{（-x）}^{2}+1}}$=${2}^{\frac{|x|}{{x}^{2}+1}}$=f（x），
故其圖象關(guān)于y軸對稱；
②f（-1）=${2}^{\frac{1}{2}}$，f（-$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{2}{5}}$，
故f（-1）＞f（-$\frac{1}{2}$），
故f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)不成立；
③∵0≤$\frac{|x|}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值為${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故不成立；
④∵f（x）的最小值為2⁰=1，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，
∴對任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做為某一三角形的邊長；
故答案為：①④．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．