【題目】為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試.
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計 | 60 |
(Ⅰ)根據(jù)題目完成列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān).
(Ⅱ)現(xiàn)已知, , 三人獲得優(yōu)秀的概率分別為, , ,設(shè)隨機變量表示, , 三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列及期望.
附: ,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:(1)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確找出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),然后利用古典概型的概率計算公式計算;(2)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來,要做到不重不漏,有時可借助列表,樹狀圖列舉,當(dāng)基本事件總數(shù)較多時,注意去分排列與組合;求隨機變量的分布列的主要步驟:一是明確隨機變量的取值,并確定隨機變量服從何種概率分布;二是求每一個隨機變量取值的概率,三是列成表格;(3)求出分布列后注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確;(4)求解離散隨機變量分布列和方差,首先要理解問題的關(guān)鍵,其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機變量的所有可能值,計算出相對應(yīng)的概率,寫成隨機變量的分布列,正確運用均值、方差公式進行計算.
試題解析:(Ⅰ)2×2列聯(lián)表如下
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
甲班 | 40 | 20 | 60 |
乙班 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
由算得,
,
所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的環(huán)保知識成績與文理分科有關(guān) 5分
(Ⅱ)設(shè)成績優(yōu)秀分別記為事件,則
∴隨機變量的取值為0,1,2,3 6分
,
10分
所以隨機變量的分布列為:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
E(X) =0×+1×+2×+3× = 12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓: 和點,動圓經(jīng)過點且與圓相切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點是曲線與軸正半軸的交點,點, 在曲線上,若直線, 的斜率分別是, ,滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績實行“”的構(gòu)成模式,第一個“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語,每門滿分150分,第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試,每門滿分100分,高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況,將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體,從學(xué)生群體中隨機抽取了50名學(xué)生進行調(diào)查,他們選考物理,化學(xué),生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表:
(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作,求事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下圖中,四邊形 ABCD是等腰梯形, , , 于M、交EF于點N, , ,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,記折起后C、D為、且使,如圖示.
(Ⅰ)證明: 平面ABFE;,
(Ⅱ)若圖6中, ,求點M到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與拋物線共焦點,拋物線上的點M到y軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點Q滿足.
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點,設(shè)線段AB的中點為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間,隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調(diào)查,其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時間超過3小時的學(xué)生稱為“古文迷”,否則為“非古文迷”,調(diào)查結(jié)果如表:
古文迷 | 非古文迷 | 合計 | |
男生 | 26 | 24 | 50 |
女生 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調(diào)查,求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù);
(Ⅲ)現(xiàn)從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調(diào)查,記這3人中“古文迷”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在四棱錐中,底面是矩形,且,,平面,、分別是線段、的中點.
(1)證明:
(2)在線段上是否存在點,使得∥平面,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
(3)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,以原點為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點,直線過點且與軸垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于、的任意一點,作軸于點,延長到點使得,連接并延長交直線于點,為線段的中點,判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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