【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當時，

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）對函數(shù)求導，可得函數(shù)單調(diào)性，并求得函數(shù)的最小值，若函數(shù)有零點，函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零，解不等式可得的范圍；(Ⅱ)將代入不等式化簡為，可構(gòu)造函數(shù) 利用導數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為 ， 最大值為．可證命題．

試題解析：

(Ⅰ)法1: 函數(shù)的定義域為.

由, 得.

因為,則時, ; 時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當時, .

當, 即時, 又, 則函數(shù)有零點.

所以實數(shù)的取值范圍為.

法2：函數(shù)的定義域為.

由, 得.

令，則.

當時, ; 當時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

故時, 函數(shù)取得最大值.

因而函數(shù)有零點, 則.

所以實數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) 要證明當時, ,

即證明當時, , 即.

令, 則.

當時, ;當時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當時, .

于是,當時, ①

令, 則.

當時, ;當時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

當時, .

于是 當時, ②

顯然, 不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當時, .

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，且f(2)＝.

(1)求實數(shù)m和n的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的單調(diào)性，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2016·雅安高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，

(1)求g(x)的解析式及定義域；

(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時， ．　

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全完整函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)（2）中畫出的函數(shù)圖像，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域是.

（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （ ）的左右焦點分別為， ，離心率為，點在橢圓上， ， ，過與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于， 兩點， 為， 的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點，且，求直線所在的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路.按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：

若記圖乙中第行白圈的個數(shù)為，則__________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形(其中∠B＝，AB＝a，BC＝a)地塊開發(fā)成公共綠地，設計時，要求綠地部分有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關(guān)于走道MN對稱的三角形(△AMN和△A′MN)，現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求M點與B點不重合，A′落在邊BC上，設∠AMN＝θ.

(1)若θ＝時，綠地“最美”，求最美綠地的面積；

(2)為方便小區(qū)居民的行走，設計時要求將AN，A′N的值設計最短，求此時綠地公共走道的長度.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2014全國1理21】設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為

（I）求

（II）證明：

查看答案和解析>>

同步練習冊答案