Question

8．為了推進(jìn)國家“民生工程”，某市政府現(xiàn)提供一批經(jīng)濟(jì)適用房來保障居民住房．現(xiàn)有條件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申請，且他們的申請是相互獨(dú)立的．
（1）求A，B兩人不申請同一套住房的概率；
（2）設(shè)3名申請人中申請甲套住房的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“A，B兩人選擇同一套住房”為事件N，先求出事件N的概率，再求A，B兩人不選擇同一套住房的概率．
（2）法一：隨機(jī)變量ξ可能取的值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依題意得ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）設(shè)“A，B兩人申請同一套住房”為事件N，P（N）=4×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
所以A，B兩人不申請同一套住房的概率是P=1-P（N）=$\frac{3}{4}$．
（2）法一、隨機(jī)變量X可能取的值為0，1，2，3，那么
P（X=0）=C⁰₃（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以E（X）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．
法二、依題意得X～B（3，$\frac{1}{4}$），
所以X的分布列為P（X=k）=${C}_{3}^{k}$×（$\frac{1}{4}$）^k×（$\frac{3}{4}$）^3-k=${C}_{3}^{k}$×$\frac{{3}^{3-k}}{64}$，k=0，1，2，3．即

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．