Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點$P（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，動直線l：y=kx+m交橢圓C于不同的兩點A，B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$（O為坐標原點）
（1）求橢圓C的方程．
（2）討論3m²-2k²是否為定值．若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據離心率和P點坐標列方程組求出a，b即可得出橢圓方程；
（2）聯立方程組，根據根與系數的關系和$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$列方程化簡即可得出結論．

解答 解：（1）由題意可知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以a²=2c²=2（a²-b²），整理，得a²=2b²，①
又點$P（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上，所以有$\frac{2}{{4{a^2}}}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，②
由①②聯立，解得b²=1，a²=2，
故所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）3m²-2k²為定值，理由如下：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
可知x₁x₂+y₁y₂=0．
聯立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y，化簡得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=16k²m²-8（m²-1）（1+2k²）＞0，
得1+2k²＞m²，
由根與系數的關系，得${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，③
由x₁x₂+y₁y₂=0，y=kx+m，
得x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理，得$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$．
將③代入上式，得$（1+{k^2}）\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}-km•\frac{4km}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$．
化簡整理，得$\frac{{3{m^2}-2-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，即3m²-2k²=2．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．