Question

18．求證：對任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx這3個(gè)函數(shù)的值至少有一個(gè)不大于$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 利用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理證明，得出矛盾，由此證明結(jié)論成立．

解答 證明：假設(shè)對任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx這3個(gè)函數(shù)的值都大于$\frac{5}{6}$，則
sinx＞$\frac{5}{6}$，cos2x＞$\frac{5}{6}$，1+sinx＞$\frac{5}{6}$；
∴sinx+cos2x+（1+sinx）＞3×$\frac{5}{6}$，
化簡得-2sin²x+2sinx-$\frac{1}{2}$＞0，
即（2sinx-1）²＜0，這顯然不成立；
所以假設(shè)錯(cuò)誤，
即得：“對任意x∈R，sinx，cos2x，1+sinx這3個(gè)函數(shù)的值至少有一個(gè)不大于$\frac{5}{6}$”成立．

點(diǎn)評 本題考查了反證法證明命題成立的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．