Question

13．不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1解集為{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；．

Answer 1

分析 根據(jù)x大于0和x小于0分兩種情況考慮，當x大于0時，在不等式兩邊同時乘以x，不等號方向不變，得到一個一元一次不等式，求出不等式的解集；當x小于0時，在不等式兩邊同時乘以x，不等號的方向改變，得到一個一元一次不等式，求出不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即為原不等式的解集．

解答 解：當x＞0時，在原不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1兩邊同時乘以x得：
0＜x²-1＜x，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{{x}^{2}-x-1＜0}\end{array}\right.$解得1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，不等式的解集為{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}；
當x＜0時，在不等式0＜x-$\frac{1}{x}$＜1兩邊同時乘以x得：
0＞x²-1＞x，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜0}\\{{x}^{2}-x-1＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，不等式解集為{x|-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；
綜上，原不等式的解集為{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；
故答案為：{x|1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$}；

點評 此題考查了其他不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想．學生做題時注意不等式兩邊同時乘以負數(shù)時不等號方向要改變．