Question

7．設(shè)a＞0，且a≠1，己知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函數(shù)，若f（2）＜2，則a的取值范圍是（$\sqrt{3}$，+∞）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（-x）=-f（x），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得b，再解對(duì)數(shù)不等式求得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=log_a$\frac{1+bx}{-x-1}$=-f（x）=-log_a$\frac{1-bx}{x-1}$=log_a$\frac{x-1}{1-bx}$，
∴$\frac{1+bx}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-bx}$，即1-（bx）²=1-x²，∴b=±1．
當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)意義，故舍去；當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$．
再由f（2）＜2，可得log_a3＜2=${{log}_{a}a}^{2}$．
當(dāng)a＞1時(shí)，求得a＞$\sqrt{3}$，∴a＞$\sqrt{3}$；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求得0＜a＜1，
故答案為：（$\sqrt{3}$，+∞）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、解對(duì)數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題．