Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a_n＞0，且S_n=

an2+an

2

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n+a_n，求證：數(shù)列{b_n+n+1}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)S_n=

an2+an

2

，再寫一式，兩式相減，可得a_n-a_n-1=1，即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=b_n+n+1，旅游等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{b_n+n+1}是等比數(shù)列

解答： 證明：（I）由Sn=

a 2 n +an

2

(n∈N*)知，
當n=1時，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁=1或a₁=0（舍去）…（1分）
當n≥2時，2Sn=

a

2 n

+an…①2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1…②…（2分）
①-②得，2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）…（4分）
又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，…（5分）
∴{a_n}是以1為公差，首項等于1的等差數(shù)列；…（6分）
（II）由（I）知a_n=n，則b_n+1=2b_n+n，…（7分）
設(shè)c_n=b_n+n+1，
則c_n+1=b_n+1+（n+1）+1=（2b_n+n）+n+2=2（b_n+n+1）=2c_n…（10分）
又∵c₁=b₁+1+1=4…（11分）
∴數(shù)列{c_n}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列{b_n+n+1}是等比數(shù)列．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．