Question

如圖1，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐（如圖2）．
（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出M、N點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；
（Ⅱ）G是線段AB上一點(diǎn)，且

AG

=λ•

AB

，問是否存在點(diǎn)G使得AB⊥面EGF，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，由此得到MN∥平面AEF．
（Ⅱ）存在G點(diǎn)，由G是線段AB上一點(diǎn)，且

AG

=λ

AB

，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1．
（Ⅲ）由AB⊥面BEF，且AB=6，BE=BF=3，

VE-AFMN

VE-ABF

=

SAFMN

S△ABC

=

3

4

，由此能求出多面體E-AFNM的體積．

解答： 解：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，
如圖所示．
則MN∥平面AEF…（2分）
證明如下：

MN∥AF MN?平面AEF AF?平面AEF

⇒MN∥平面AEF．…（4分）
（Ⅱ）存在G點(diǎn)，使得AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1，
因?yàn)?span id="ecf2mlo" class="MathJye">

AB⊥BE    AB⊥BF BE∩BF=B

⇒AB⊥面EBF
又G是線段AB上一點(diǎn)，且

AG

=λ

AB

，
∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1．…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)锳B⊥面BEF，
且AB=6，BE=BF=3，
∴VA-BEF=

1

3

•AB•S△BEF=9，…（9分）
又

VE-AFMN

VE-ABF

=

SAFMN

S△ABC

=

3

4

，∨E-AFMN=

27

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．