如圖1，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐（如圖2）．
（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出M、N點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；
（Ⅱ）G是線段AB上一點(diǎn)，且
AG
=λ•
AB
，問(wèn)是否存在點(diǎn)G使得AB⊥面EGF，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．
考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，由此得到MN∥平面AEF．
（Ⅱ）存在G點(diǎn)，由G是線段AB上一點(diǎn)，且
AG
=λ
AB
，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1．
（Ⅲ）由AB⊥面BEF，且AB=6，BE=BF=3，
VE-AFMN
VE-ABF
=
SAFMN
S△ABC
=
3
4
，由此能求出多面體E-AFNM的體積．
解答： 解：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，
如圖所示．
則MN∥平面AEF…（2分）
證明如下：
MN∥AF
MN?平面AEF
AF?平面AEF
⇒MN∥平面AEF．…（4分）
（Ⅱ）存在G點(diǎn)，使得AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1，
因?yàn)?span id="jwdkydr" class="MathJye">
AB⊥BE
   AB⊥BF
BE∩BF=B
⇒AB⊥面EBF
又G是線段AB上一點(diǎn)，且
AG
=λ
AB
，
∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)AB⊥面EGF，此時(shí)λ=1．…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)锳B⊥面BEF，
且AB=6，BE=BF=3，
∴VA-BEF=
1
3
•AB•S△BEF=9，…（9分）
又
VE-AFMN
VE-ABF
=
SAFMN
S△ABC
=
3
4
，∨E-AFMN=
27
4
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0且a≠1，f（x）=
1
ax+
a

（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明；
（3）若a∈N*，求和：f（-（n-1））+f（-（n-2））+…+f（-1）+f（0）+…f（n）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）計(jì)算：sin420°•cos750°+sin（-330°）•cos（-660°）
（2）求證：（cosβ-1）2+sin2β=2-2cosβ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C1的參數(shù)方程為
x=2cosφ
y=2sinφ
（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+
π
3
）．
（1）將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程，將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C1，C2是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦長(zhǎng)，若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知fn（x）=（1+x）n，（x≠0且x≠-1，n∈N*）
（1）設(shè)g（x）=f3（x）+f4（x）+…+f10（x），求g（x）中含x3的項(xiàng)的系數(shù)．
（2）若fn（x）=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+…+an（x-2）n，設(shè)Sn=
n
i=1
ai，試比較Sn與（n-2）•3n+（n+1）2的大小，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，an＞0，Sn為其前n項(xiàng)和，向量
AB
=（Sn，p2-an），
CD
=（1，p-1），且
AB
∥
CD
，其中p＞0且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若p=
1
2
，數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+…+bna1=2n-
1
2
n-1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＞0，且Sn=
an2+an
2
（n∈N*）
（Ⅰ）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn+an，求證：數(shù)列{bn+n+1}是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-（a-1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）為R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在x=5處切線的斜率為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案