Question

3．如圖，已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P，Q．若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x
• B． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x

Answer 1

分析 設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由向量共線的坐標表示，可得Q的坐標，求得弦長|PQ|，運用中點坐標公式，可得PQ的中點坐標，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，半徑r=$\frac{{a}^{2}}{c}$，運用圓的弦長公式計算即可得到a，b的關系，進而求得漸近線方程..

解答 解：設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），
P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，可得Q（3m，$\frac{3bm}{a}$），
圓的半徑為r=|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=2m•$\frac{c}{a}$，
PQ的中點為H（2m，$\frac{2bm}{a}$），
由AH⊥PQ，可得$\frac{2bm}{a（2m-a）}$=-$\frac{a}$，
解得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，r=$\frac{{a}^{2}}{c}$．
A到漸近線的距離為d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
則|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-993w0bj^{2}}$=r，
即為d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即有$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$．
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即有漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及圓的弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．