Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點．
（Ⅰ）求PA與底面ABCD所成角的大�。�
（Ⅱ）求證：PA⊥平面CDM．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）取DC的中點O，由△PDC是正三角形，知PO⊥DC，由平面PDC⊥底面ABCD，知PO⊥平面ABCD于O，所以∠PAO就是PA與底面所成的角，由此能求出PA與底面ABCD所成角的大小．
（Ⅱ）以OA為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明PA⊥平面DMC．

解答： （Ⅰ）解：取DC的中點O，∵△PDC是正三角形，∴PO⊥DC，
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O，
連接OA，則OA是PA在底面上的射影，
∴∠PAO就是PA與底面所成的角，
∵∠ADC=60°，△PCD和△ACD都是邊長為2的全等的等邊三角形，
∴OA=OP=

3

，
∴∠PAO=45°，
所以PA與底面ABCD所成角的大小為45°．
（Ⅱ）證明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，
∴OA⊥DC，以OA為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（

3

，0，0），P（0，0，

3

），D（0，-1，0），B（

3

，2，0），C（0，1，0），
∵M為PB的中點，∴M（

3

2

，1，

3

2

），
∴

DM

=（

3

2

，2，

3

2

），

PA

=（

3

，0，-

3

），

DC

=（0，2，0），
∴

PA

•

DM

=

3

2

×

3

+2×0+

3

2

×(-

3

)=0，

PA

•

DC

=0×

3

+2×0+0×(-

3

)=0，
∴PA⊥DM，PA⊥DC，
∴PA⊥平面DMC．

點評：本題考查直線與平面所成角的求法，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．