Question

10．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，則ab的取值范圍是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，4]
• C． [4，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則ab的最大值．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
則目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的斜率-$\frac{a}$＜0，
平移直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（1，1），
此時(shí)z的最大值為z=a+b=4≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤4，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．