【題目】若函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求單調(diào)區(qū)間和極值，先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，在上，的解為，探討在和上的正負，確定的單調(diào)性，極值；（Ⅱ）首先由零點存在，知最小值，從而，因此在是單調(diào)遞減，且，因此結(jié)論易證．

試題解析：（Ⅰ）由，得

.

由解得.與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.

因為存在零點，所以，從而.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個零點.

綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．

側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．

底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．

底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體．

側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體．

底面是矩形的直平行六面體叫作長方體．

棱長都相等的長方體叫作正方體．

請根據(jù)上述定義，回答下面的問題(填“一定”、“不一定”“一定不”)：

(1)直四棱柱________是長方體；

(2)正四棱柱________是正方體．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：

房屋面積x（m2）

115

110

80

135

105

銷售價格y（萬元）

24．8

21．6

18．4

29．2

22

（1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；

（2）求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線．

（參考公式=，=+，其中=60 975,=12 952）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，點在橢圓上，、分別為橢圓的左右頂點，過點作軸交的延長線于點，為橢圓的右焦點.

（Ⅰ）求橢圓的方程及直線被橢圓截得的弦長；

（Ⅱ）求證：以為直徑的圓與直線相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知均為直線，為平面，下面關(guān)于直線與平面關(guān)系的命題：

①任意給定一條直線與一個平面，則平面內(nèi)必存在與垂直的直線；

②內(nèi)必存在與相交的直線；

③，必存在與都垂直的直線；

其中正確命題的個數(shù)為（ ）

A．0個 B．1個

C．2個 D．3個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】社區(qū)服務(wù)是綜合實踐活動課程的重要內(nèi)容，某市教育部門在全市高中學(xué)生中隨機抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段，，，，（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)，并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率；

（2）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的人數(shù)，試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為．

（1）求的值；

（2）若在上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),且函數(shù)在處的切線平行于直線.

（1）求實數(shù)的值;

（2）若在上存在一點,使得成立.求實數(shù)的取值范圍.

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