【題目】如圖所示的幾何體中,和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求二面角的大。
(3)設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn),使得平面平面,求線段的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)題意,得出,,根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面,則,建立以為原點(diǎn),,,為,,軸的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明;
(2)求出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角的大小;
(3)設(shè),,,求出,,,令,則,解得為的中點(diǎn),利用向量法能求出線段的長(zhǎng).
解:依題意得,和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
則,,
所以面,
又,可以建立以為原點(diǎn),
分別以,,的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),
可得,,,,,,,
(1)證明:由題意,,,
因?yàn)?/span>,所以.
(2)解:,,
設(shè)為平面的法向量,則
,即,
不妨令,可得,
平面的一個(gè)法向量,
因此有,
由圖可得二面角為銳二面角,
所以二面角的大小為.
(3)解:(方法一)設(shè),,
所以,因此,
令,即,
解得,即為的中點(diǎn),
因?yàn)?/span>平面,平面,,
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),平面平面,
此時(shí)即,
,
所以線段的長(zhǎng)為.
(方法二)設(shè),,
所以,因此,
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
不妨令,可得,
因?yàn)槠矫?/span>平面,所以,
解得:,
此時(shí)即,,
所以線段的長(zhǎng)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大型商場(chǎng)的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺(tái)) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場(chǎng)空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)6月份該商場(chǎng)空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場(chǎng)的營(yíng)銷部對(duì)空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷,對(duì)7月到12月有購(gòu)買(mǎi)空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購(gòu)買(mǎi)空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)過(guò)營(yíng)銷部調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的500名顧客進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購(gòu)買(mǎi)意愿對(duì)應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購(gòu)買(mǎi)意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,分別是雙曲線的左,右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向一條漸近線作垂線,交雙曲線右支于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)(,在軸同側(cè)),連接,若的內(nèi)切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上,則的大小為________;雙曲線的離心率為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“業(yè)務(wù)技能測(cè)試”是量化考核員工績(jī)效等級(jí)的一項(xiàng)重要參考依據(jù).某公司為量化考核員工績(jī)效等級(jí)設(shè)計(jì)了A,B兩套測(cè)試方案,現(xiàn)各抽取名員工參加A,B兩套測(cè)試方案的預(yù)測(cè)試,統(tǒng)計(jì)成績(jī)(滿分分),得到如下頻率分布表.
成績(jī)頻率 | |||||||
方案A | |||||||
方案B |
(1)從預(yù)測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的員工中隨機(jī)抽取人,記參加方案A的人數(shù)為,求的最有可能的取值;
(2)由于方案A的預(yù)測(cè)試成績(jī)更接近正態(tài)分布,該公司選擇方案A進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試.測(cè)試后,公司統(tǒng)計(jì)了若干部門(mén)測(cè)試的平均成績(jī)與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率,如下表所示:
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,初步判斷,選用作為回歸方程.令,經(jīng)計(jì)算得,,.
(ⅰ)若某部門(mén)測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?/span>,則其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率的預(yù)報(bào)值為多少?
(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,大致認(rèn)為各部門(mén)測(cè)試平均成績(jī),其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,求某個(gè)部門(mén)績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于的概率為多少?
參考公式與數(shù)據(jù):(1),,.
(2)線性回歸方程中,,.
(3)若隨機(jī)變量,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足“存在正數(shù),使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值,在其定義域內(nèi)都存在,使成立”,則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”.
(1)分別判斷函數(shù)①,②是否為“依附函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,求證:“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī),促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售,隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價(jià)(單位:元/件)及相應(yīng)月銷量(單位:萬(wàn)件),對(duì)近5個(gè)月的月銷售單價(jià)和月銷售量的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下表數(shù)據(jù):
月銷售單價(jià)(元/件) | 9 | 10 | 11 | ||
月銷售量(萬(wàn)件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(Ⅰ)建立關(guān)于的回歸直線方程;
(Ⅱ)該公司開(kāi)展促銷活動(dòng),當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價(jià)為7元/件時(shí),其月銷售量達(dá)到18萬(wàn)件,若由回歸直線方程得到的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與此次促銷活動(dòng)的實(shí)際數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)萬(wàn)件,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(wèn):(Ⅰ)中得到的回歸直線方程是否理想?
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果,若該產(chǎn)品成本是5元/件,月銷售單價(jià)為何值時(shí)(銷售單價(jià)不超過(guò)11元/件),公司月利潤(rùn)的預(yù)計(jì)值最大?
參考公式:回歸直線方程,其中,.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,a2+a4=14且a2﹣1,a3+1,a4+7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè),對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;
求證:當(dāng)時(shí),
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