Question

【題目】若函數(shù)滿足“存在正數(shù)，使得對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立”，則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”．

（1）分別判斷函數(shù)①，②是否為“依附函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)的值域為，求證：“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是；理由詳見解析（2）詳見解析．

【解析】

（1）①可取，說明函數(shù)是“依附函數(shù)”； ②對于任意正數(shù)，取，此時關(guān)于的方程無解，說明不是“依附函數(shù)”；

（2）先證明必要性，再證明充分性，即得證.

（1）①可取，則對任意，存在，使得成立，

（說明：可取任意正數(shù)，則）

∴是“依附函數(shù)”，

②對于任意正數(shù)，取，則，

此時關(guān)于的方程無解，∴不是“依附函數(shù)”．

（2）必要性：（反證法）假設(shè)，

∵的值域為，∴存在定義域內(nèi)的，使得，

∴對任意正數(shù)，關(guān)于的方程無解，

即不是依附函數(shù)，矛盾，

充分性：假設(shè)，取，

則對定義域內(nèi)的每一個值，由，可得，

而的值域為，

∴存在定義域內(nèi)的，使得，即成立，

∴是“依附函數(shù)”．