【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,且橢圓過點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)若點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上不同于的動(dòng)點(diǎn),直線與直線x=a交于點(diǎn),證明:以線段為直徑的圓與直線相切.
【答案】(I);(II)詳見解析.
【解析】
(I)設(shè)橢圓的焦距為,依題意,列出方程組,求得的值,即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)方法一 ①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),得到直線的方程,求得點(diǎn)的坐標(biāo), 進(jìn)而求得線段的中點(diǎn)為,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑,即可證明;②又由可得點(diǎn)Q的坐標(biāo),求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo),利用圓心到直線的距離等于半徑,可作出證明.
方法二:依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而求得以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,再由直線與圓的位置關(guān)系的判定,即可得到結(jié)論.
(I)設(shè)橢圓的焦距為,依題意,,
解得,,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(II)方法一①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
因?yàn)?/span>在橢圓上,,,
由兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為:,
當(dāng)時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
設(shè)線段的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,
直線的方程為:,整理為,
由,
則點(diǎn)到直線的距離為
,
由,故以為直徑的圓與直線相切.
②若時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)為或,直線的方程為,直線的方程為或.將代入直線的方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為或,線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為或,所以.又點(diǎn)到直線的距離
由,故以為直徑的圓與直線相切.
方法二:由(I)知.
依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,消去得.
,,
的坐標(biāo)為.
因?yàn)橹本與交點(diǎn)為,的坐標(biāo)為,,
所以以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為.
①當(dāng)直線的斜率存在,即,時(shí),
直線的方程為,即,整理得
設(shè)圓心到直線的距離為,則
所以以為直徑的圓與直線相切.
②當(dāng)直線的斜率不存在即時(shí),此時(shí)直線的方程為.
圓心坐標(biāo)為,圓的半徑為,此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.
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【題目】某英語初學(xué)者在拼寫單詞“”時(shí),對(duì)后三個(gè)字母的記憶有些模糊,他只記得由“”、“”、“”三個(gè)字母組成并且字母“”只可能在最后兩個(gè)位置中的某一個(gè)位置上如果該同學(xué)根據(jù)已有信息填入上述三個(gè)字母,那么他拼寫正確的概率為
A. B. C. D.
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【題目】(本小題滿分14分)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn),.
(1)求圓的圓心坐標(biāo);
(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得直線 與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
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【題目】某電器商場銷售的彩電、U盤和播放器三種產(chǎn)品.該商場的供貨渠道主要是甲、乙兩個(gè)品牌的二級(jí)代理商.今年9月份,該商場從每個(gè)代理商處各購得彩電100臺(tái)、U盤52個(gè)、播放器180臺(tái).而10月份,該商場從每個(gè)代理商處購得的產(chǎn)品數(shù)量都是9月份的1.5倍.現(xiàn)知甲、乙兩個(gè)代理商給出的產(chǎn)品單價(jià)(元)如下頁表中所示:
彩電 | U盤 | 播放器 | |
甲代理商單價(jià)(元) | 2350 | 1200 | 750 |
乙代理商單價(jià)(元) | 2100 | 920 | 700 |
(1)計(jì)算,并指出結(jié)果的實(shí)際意義;
(2)用矩陣求該商場在這兩個(gè)月中分別支付給兩個(gè)代理商的購貨費(fèi)用.
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【題目】(13分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足(如圖所示).
(Ⅰ)求得重心G(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程;
(Ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】2018年雙11當(dāng)天,某購物平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)2135億人民幣.與此同時(shí),相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系,現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),對(duì)商品的好評(píng)率為0.9,對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75,其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次.
(1)請(qǐng)完成下表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?
對(duì)服務(wù)好評(píng) | 對(duì)服務(wù)不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品好評(píng) | 140 | ||
對(duì)商品不滿意 | 10 | ||
合計(jì) | 200 |
(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為X.
①求隨機(jī)變量X的分布列;
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
附:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為右支上一動(dòng)點(diǎn),的內(nèi)切圓的圓心為,半徑,則的取值范圍為______.
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