Question

【題目】某學校為調查高一新生上學路程所需要的時間（單位：分鐘），從高一年級新生中隨機抽取100名新生按上學所需時間分組：第1組（0，10]，第2組（10，20]，第3組（20，30]，第4組（30，40]，第5組（40，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）根據圖中數據求a的值；
（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名新生參與交通安全問卷調查，應從第3，4，5組各抽取多少名新生？
（3）在（2）的條件下，該校決定從這6名新生中隨機抽取2名新生參加交通安全宣傳活動，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵（0.005+0.01+a+0.03+0.035）×10=1，

所以a=0.02．

（2）

解：依題意可知，

第3組的人數為0.3×100=30，

第4組的人數為0.2×100=20，

第5組的人數為0.1×100=10．

所以3、4、5組人數共有60．

所以利用分層抽樣的方法在60名學生中抽取6名新生，分層抽樣的抽樣比為 = ．

所以在第3組抽取的人數為3人，

在第4組抽取的人數為2人，

在第5組抽取的人數為1人，

（3）

解：記第3組的3名新生為A，B，C，第4組的2名新生為a，b，第5組的1名新生為1．

則從6名新生中抽取2名新生，共有：

（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，1），

（B，C），（B，a），（B，b），（B，1），（C，a），

（C，b），（C，1），（a，b），（a，1），（b，1），共有15種．

其中第4組的2名新生a，b至少有一名新生被抽中的有：

（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），

（C，b），（a，b），（a，1），（b，1），共有9種，

則第4組至少有一名新生被抽中的概率P= =

【解析】（1）由各組的累積頻率為1，構造關于a的方程，解方程可得a的值；（2）先計算各組學生的人數，進而求出抽樣比，就可得到應從第3，4，5組各抽取多少名新生；（3）先計算從6名新生中抽取2名新生所有的情況總數，再求出第4組至少有一名志愿者被抽中的情況數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用頻率分布直方圖，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息即可以解答此題．