（Ⅰ）證明：f（x）=x+
1
x
在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）求證：tan2α-sin2α=tan2αsin2α
考點：三角函數(shù)恒等式的證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（Ⅰ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）變形可判f（x1）＜f（x2），可得單調(diào)性；（Ⅱ）由三角函數(shù)公式且化弦，通分再弦化切可得．
解答： 證明：（Ⅰ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-（x2+
1
x2
）
=x1-x2+
x2-x1
x1x2
=（x1-x2）（1-
1
x1x2
）
=（x1-x2）
x1x2-1
x1x2
，
∵x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，
∴（x1-x2）
x1x2-1
x1x2
＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）=x+
1
x
在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）左邊=tan2α-sin2α=
sin2α
cos2α
-sin2α
=sin2α（
1
cos2α
-1）=sin2α•
1-cos2α
cos2α

=sin2α•
sin2α
cos2α
=tan2αsin2α=右邊，
∴命題得證．
點評：本題考查三角函數(shù)恒等式和函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求直線y=
3
與函數(shù)f（x）圖象的所有交點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某部門為了了解用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，因某天統(tǒng)計的用電量數(shù)據(jù)丟失，用t表示，如下表：
氣溫（℃）181310-1
用電量（度）24t3864
（1）由以上數(shù)據(jù)，求這4天氣溫的方差．
（2）若用電量與氣溫之間具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，回歸直線方程為
y
=-2x+b，且預(yù)測氣溫為-4℃時，用電量為68度，求t、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
π
2
x+3， x＜0
0 ， x=0
π
2
x-5 ， x＞0
請設(shè)計算法框圖，要求輸入自變量，輸出函數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2-4x+5．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）若f（a）=10，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以a1為首項的數(shù)列{an}滿足an+1=
an+c，an＜3
an
d
，an≥3
．
（Ⅰ）當a1=1，c=1，d=3時，求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）當0＜a1＜1，c=1，d=3時，試用數(shù)列a1表示數(shù)列{an}前100項的和S100；
（Ⅲ）當0＜a1＜
1
m
（m∈N*），c=
1
m
時，正整數(shù)d≥3m時，證明：數(shù)列a2-
1
m
，a3m+2-
1
m
，a6m+2-
1
m
，a9m+2-
1
m
成等比數(shù)列的充要條件是d=3m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知cosα=-
3
5
，且α∈（
π
2
，π），求sinα，tanα的值；
（Ⅱ）化簡：sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點P（2，2）的直線l與圓（x-1）2+y2=5相切，且與直線ax-y+1=0平行，求a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，樣本去掉一個最高分和一個最低分后計算所得的平均數(shù)為91，則x=
 
，樣本的中位數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊答案