Question

如圖，多面體ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BB₁=2CC₁=4．
（1）若O是AB的中點(diǎn)，求證：OC₁⊥A₁B；
（2）在線段AB₁上是否存在一點(diǎn)D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在確定D的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取線段A₁B₁的中點(diǎn)為E，連接OE，C₁E，CO，證明AB⊥面EOCC₁，利用A₁B₁∥AB，OC?面EOCC₁，可得OC₁⊥A₁B；
（2）設(shè)OE∩AB₁=D，則點(diǎn)D是AB₁的中點(diǎn)，證明四邊形CC₁ED是平行四邊形即可．

解答： （1）證明：取線段A₁B₁的中點(diǎn)為E，連接OE，C₁E，CO
已知等邊ABC是邊長為4，AA₁=BB₁=2CC₁=4，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥
CC₁，
∴AA₁B₁B是正方形，
∴OE⊥AB，CO∥AB，
又∵CO∩OE=O，
∴AB⊥面EOCC₁，
∵A₁B₁∥AB，OC?面EOCC₁，
∴OC₁⊥A₁B…（6分）
（2）解：設(shè)OE∩AB₁=D，則點(diǎn)D是AB₁的中點(diǎn)，
∴ED∥AA₁，ED=

1

2

AA1…（8分）
又∵CC₁∥AA₁，CC₁=

1

2

AA₁，
∴四邊形CC₁ED是平行四邊形，…（10分）
∴CD∥C₁E，∴CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在點(diǎn)D使得CD∥平面A₁B₁C₁，點(diǎn)D是AB₁的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直，正確運(yùn)用判定定理是關(guān)鍵．