Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，a₂=5，S₅=35，{b_n}是等比數(shù)列，b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₂=5，S₅=35，可求公差d，首項a₁，從而得a_n；由{b_n}是等比數(shù)列，且b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0，可求公比q，首項b₁；從而得b_n．
（2）用錯位相減法可求出T_n的表達(dá)式．

解答：（1）∵S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₂=5，S₅=35，
∴

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得d=2，a₁=3；
∴{a_n}的通項公式a_n=3+2（n-1）=2n+1（n∈N^*）；
又{b_n}是等比數(shù)列，且b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0；
∴

b1(1+q2)=10 q2= b4 b2 =9 q＞0

，解得q=3，b₁=1；
∴{b_n}的通項公式b_n=1×3^n-1=3^n-1（n∈N^*）．
（2）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=3×1+5×3¹+7×3²+9×3³+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1①，
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ②；
①-②得：-2T_n=3+2（3¹+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）×3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式以及有錯位相減法對數(shù)列求和的知識，是易錯題．