Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}和正項等比數(shù)列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，由已知分別求得公差d和公比q，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），采用“裂項法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，正項等比數(shù)列{b_n}的公比為q，q＞0，
∵a₃+a₅+a₇=9  
3a₅=9即a₅=3，
d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{1}{2}$，
數(shù)列{a_n}的通項公式：a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，…（3分）
∴a₇=4，
∵a₇是b₃和b₇等比中項，
∴${a}_{7}^{2}$=b₃•b₇=$_{5}^{2}$即b₅=a₇=4，
∴q⁴=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=4，解得：q=±$\sqrt{2}$，
q=$\sqrt{2}$，
∴q=（$\sqrt{2}$）^n-1；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{n+1}{2}•\frac{n+2}{2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{2n}{n+2}$，
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{2n}{n+2}$．…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)及通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項的應(yīng)用，屬于中檔題．