Question

3．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2a-c}$，
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求a²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角和定理和內(nèi)角的范圍求出cosB的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B；
（Ⅱ）由b和sinB的值求外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理表示出a和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式、兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)角A的范圍求出正弦函數(shù)的值域，可求出a²+c²的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2a-c}$，
根據(jù)正弦定理得，$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，
∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC，
sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，則cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）設(shè)外接圓的半徑為R，由（1）得2R=$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，則R=1，
且C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得，a=2sinA，c=2sinC，
∴a²+c²=4（sin²A+sin²C）=2（1-cos2A+1-cos2C）
=4-2cos2A-2cos2（$\frac{2π}{3}-A$）
=4-2cos2A-2cos（$\frac{4π}{3}-2A$）=4-2cos2A+2cos（$\frac{π}{3}-2A$）
=4-2cos2A+2（$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A）
=4-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=4+2sin（$2A-\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜$$2A-\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，
則$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
∴4+2sin（$2A-\frac{π}{6}$）∈（3，6]，
故a²+c²的取值范圍是（3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的靈活應(yīng)用，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，注意三角形內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．