Question

已知函數(shù)f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=-

1

3

x³+

1

2

（a+2）x²+2（a+4）x，存在兩個整數(shù)m、n，使得函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（m，n）上都是增函數(shù)，求n的最大值，及n取最大值時a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

，x＞2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）由（m，n）?（0，+∞），得n＞m≥0，g′（x）=-x²+（a+2）x+2（a+4）=-（x+2）[x-（a+4）]，g（x）＞0對x∈（m，n）恒成立，由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出n的最大值為3，此a的取值范圍是[-1，-

1

2

]．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，
∴f′(x)=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

，x＞2
令f′（x）0，得x＞2，
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）由（m，n）?（0，+∞），得n＞m≥0，
g′（x）=-x²+（a+2）x+2（a+4）=-（x+2）[x-（a+4）]，
∵g（x）在（m，n）上是增函數(shù)，∴g（x）＞0對x∈（m，n）恒成立，
∴0≤m＜n≤a+4，于是a＞-4，①
f′(x)=-

4

x

-ax+1=

-ax2+x-4

x

，x＞0，
設(shè)h（x）=-ax²+x-4，則f′（x）＞0，即h（x）＞0對x∈（m，n）恒成立．
（1）當(dāng)a＜0時，∵h（0）=-4＜0，∴h（a+4）=-a[（a+4）²-1]＞0，
解得a＞-3，或a＜-5，②
由①，②條件得-3＜a＜0，n≤a+4＜4，
又m，n為整數(shù)，∴m＜n≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)

-3＜a＜0 3≤a+4＜4 h(2)=-4a-2≥0

，即-1≤a≤-

1

2

時，n_max=3．
（2）當(dāng)a=0時，f′（x）＞0與g′（x）＞0無公共解，不適合條件．
（3）當(dāng)a＞0時，由h（0）＜0，h（a+4）＜0，
要使f′（x）＞0與g′（x）＞0有公共解，
必須

0＜ 1 2a ＜a+4 △=1-16a＞0

，
∵該方程組無解，∴不適合條件．
綜上所述，n的最大值為3，此a的取值范圍是[-1，-

1

2

]．

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)n的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．