巳知函數(shù)f（x）=
1
3
ax2-bx-1nx，其中a，b∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e）處的切線方程為2x-3y-e=0（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求a，b的值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)h（x）=x[f（x）+1nx]對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有
h(x1)-h(x2)
x1-x2
＞-1成立，試用a表示出b的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，f′(x)=2x+1-
1
x
=
(x+1)(2x-1)
x
，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)x=
1
2
時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值f(
1
2
)=
3
4
+ln2．
（Ⅱ）由f′(x)=
2
3
ax-b-
1
x
，得f′（e）=
2
3
ae-b-
1
e
，由曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為2x-3y-e=0，能求出a=
3+e
e2
，b=
1
e
．
（Ⅲ）由題意知函數(shù)h（x）=
1
3
ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增．2b≤(ax+
1
x
)min，由此利用分類討論思想能求出當(dāng)0＜a＜
1
16
時(shí)，b≤
a
．當(dāng)a≥
1
16
，b≤2a+
1
8
．
解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，f（x）=x2+x-lnx，（x＞0）．
f′(x)=2x+1-
1
x
=
2x2+x-1
x
=
(x+1)(2x-1)
x
，
令f′（x）＞0，解得x＞
1
2
；令f′（x）＜0，解得0＜x＜
1
2
．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，
1
2
)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(
1
2
，+∞)上單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=
1
2
時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，
最小值為f(
1
2
)=(
1
2
)2+
1
2
-ln
1
2
=
3
4
+ln2．
（Ⅱ）f′(x)=
2
3
ax-b-
1
x
，∴f′（e）=
2
3
ae-b-
1
e
，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為2x-3y-e=0，
∴
2
3
ae-b-
1
e
=
2
3
1
3
ae2-be-1=
1
3
(2e-e)
，解得
a=
3+e
e2
b=
1
e
．
∴a=
3+e
e2
，b=
1
e
．
（Ⅲ）由函數(shù)h（x）=x[g（x）+1]對(duì)任意的x1＞x2≥4，
總有
h(x1)-h(x2)
x1-x2
＞-1成立，
∴函數(shù)h（x）=
1
3
ax3-bx2+x在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h′（x）=ax2-2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．
∴2b≤
ax2+1
x
=ax+
1
x
在[4，+∞）上恒成立，
∴2b≤(ax+
1
x
)min，
x∈[4，+∞）．令u（x）=ax+
1
x
，x∈[4，+∞）．（a＞0）．
則u′(x)=a-
1
x2
=
ax2-1
x2
．令u′（x）=0，解得x=
a
a
．
∴u（x）在(0，
a
a
)上單調(diào)遞減，在(
a
a
，+∞)上單調(diào)遞增．
（i）當(dāng)
a
a
＞4時(shí)，即0＜a＜
1
16
時(shí)，u（x）在[4，
a
a
)上單調(diào)遞減，
在(
a
a
，+∞)上單調(diào)遞增．
∴u（x）min=u(
a
a
)=2
a
，∴2b≤2
a
，即b≤
a
．
（ii）當(dāng)
a
a
≤4時(shí)，即a≥
1
16
，函數(shù)u（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2b≤u(4)=4a+
1
4
，即b≤2a+
1
8
．
綜上可得：當(dāng)0＜a＜
1
16
時(shí)，b≤
a
．當(dāng)a≥
1
16
，b≤2a+
1
8
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
2
2
，且點(diǎn)M（-1，
2
2
）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F2，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax在x=
1
e
處取得極小值．
（Ⅰ）若不等式f（x）-bx+e≥0對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若m，n∈（0，e），且m+n=e，求證：f（m）+f（n）＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+
y2
9
=1和動(dòng)直線y=
3
2
x+m．
（1）當(dāng)動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，求m取值范圍；
（2）當(dāng)動(dòng)直線與橢圓相交時(shí)，證明動(dòng)直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-4lnx-
1
2
ax2+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-
1
2
，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=-
1
3
x3+
1
2
（a+2）x2+2（a+4）x，存在兩個(gè)整數(shù)m、n，使得函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（m，n）上都是增函數(shù)，求n的最大值，及n取最大值時(shí)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

近年來，福建省大力推進(jìn)海峽西岸經(jīng)濟(jì)區(qū)建設(shè)，福州作為省會(huì)城市，在發(fā)展過程中，交通狀況一直倍受有關(guān)部門的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示上午6點(diǎn)到10點(diǎn)，車輛通過福州市區(qū)二環(huán)路某一路段的用時(shí)y（分鐘）與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y=
-
1
8
t3+
3
2
t2-14(6≤t＜9)
9lnt-t(9≤t≤10)
．求上午6點(diǎn)到10點(diǎn)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+mx+n的圖象過點(diǎn)（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（Ⅰ）求f（x）與g（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）=exg（x）-λ[f（x）+x2]在[-2，0]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=-1，S5=15．
（1）求an；
（2）令bn=2 an（n=1，2，3，…），計(jì)算b1，b2和b3，由此推測(cè)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=plnx+
q
x2
（p＞0），若x=
2
2
時(shí)，f（x）有極小值
1
2
（1-ln2），
（1）求實(shí)數(shù)p，q的取值；
（2）若數(shù)列{an}中，an=f（n），求證：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn≥
n
4
；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=alnx+bx+c（a＞0），若g（x）有極值且極值為t，則t與
4ac-b2
4a
是否具有確定的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論．

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