Question

19．f（x）是定義在（-∞，-10]∪[10，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）在[10，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）判斷f（x）在（-∞，-10]上的單調(diào)性，并用定義予以證明；
（2）若a＞0且a≠1，有f[-（a^x+1）²-a^x]+f（a^2x-6a^x+10）＞0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性求解不等式．

解答 解：（1）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，-10]，且x₁＜x₂，則-x₁＞x₂≥10，
而f（x）在[10，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（-x₂）＞f（-x₁），
又f（x）是奇函數(shù)，所以-f（x₂）＞-f（x₁），即f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在（-∞，-10]上是減函數(shù)．
（2）因為f[-（a^x+1）²-a^x]+f（a^2x-6a^x+10）＞0，
所以f（a^2x-6a^x+10）＞f[（a^x+1）²+a^x]，
所以a^2x-6a^x+10）＞（a^x+1）²+a^x≥10，
解得a^x≥6，
所以當0＜a＜1時，x≤log_a6，當a＞1時，x≥log_a6．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合，考查單調(diào)性的定義，考查利用單調(diào)性求解不等式，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．