Question

10．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（α＞0）．
（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞） 上為增函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得出f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上為增函數(shù)；
（2）根據(jù)上面導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷過(guò)程即知x=$\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取最小值，求出該值即可．

解答 解：（1）證明：f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$；
∴x∈（0，$\sqrt{a}$]時(shí)，f′（x）≤0，x∈[$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）≥0；
∴f（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{2}]$上為減函數(shù)，在$[\sqrt{a}，+∞）$上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，x=$\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取最小值$2\sqrt{a}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)證明函數(shù)在一區(qū)間上的單調(diào)性的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法及過(guò)程，要正確求導(dǎo)．