Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-λ，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₁+b₂+b₃=9．
（1）求λ的值，并求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{{S}_{n}+1}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=2ⁿ-1．c_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）解：由等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-λ，
可得：a₁=2-λ，a₁+a₂=2²-λ，a₁+a₂+a₃=2³-λ，
解得：a₁=2-λ，a₂=2，a₃=4，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，∴2=2×（2-λ），解得λ=1．
∴a₁=1，a_n=2^n-1．
∵設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₁=a₁，b₁+b₂+b₃=9．
∴b₁=1，3+3d=9，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：由（1）可得：S_n=2ⁿ-1．
c_n=$\frac{{S}_{n}+1}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1．
∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．