Question

12．設(shè)k∈R，對(duì)任意的向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$和實(shí)數(shù)x∈[0，1]，如果滿足$|{\overrightarrow a}|=k|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，則有$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≤λ|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$成立，那么實(shí)數(shù)λ的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． k
• C． $\frac{k+1+|k-1|}{2}$
• D． $\frac{k+1-|k-1|}{2}$

Answer 1

分析 當(dāng)向量$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$時(shí)，可得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$均為零向量，不等式成立；由k=0，可得x|$\overrightarrow$|≤λ|$\overrightarrow$|，即有λ≥x恒成立，由x≤1，可得λ≥1；再由絕對(duì)值和向量的模的性質(zhì)，可得$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，則有$\frac{λ}{k}$≥1，即λ≥k．即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)向量$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$時(shí)，可得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$均為零向量，不等式成立；
當(dāng)k=0時(shí)，即有$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，則有$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≤λ|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，即為x|$\overrightarrow$|≤λ|$\overrightarrow$|，
即有λ≥x恒成立，由x≤1，可得λ≥1；
當(dāng)k≠0時(shí)，$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，由題意可得有$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≤λ|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\frac{λ}{k}$|$\overrightarrow{a}$|，
當(dāng)k＞1時(shí)，$|{\overrightarrow a}|=k|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$＞|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
由|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|，可得：
$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，則有$\frac{λ}{k}$≥1，即λ≥k．
即有λ的最小值為$\frac{k+1+|k-1|}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用特值法，以及恒成立思想的運(yùn)用，考查向量的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．