Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則由點(diǎn)Q（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上可得，，從而可求y=f（x）
（Ⅱ） 由（I）可得h（x）=在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可得當(dāng)1≤x₁＜x₂時(shí)，h（x₂）-h（x₁）＞0，，從而可求
解答：解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則（4分）
∵點(diǎn)Q（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） =（7分）
設(shè)1≤x₁＜x₂，
==
=（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數(shù)h（x₂）-h（x₁）＞0，
（12分）
，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
，∴4≥4λ∴0＜λ≤1為所求                                            （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的解析式的求解，主要利用的是中點(diǎn)坐標(biāo)公式，函數(shù)的單調(diào)性的定義的應(yīng)用及單調(diào)性中的恒成立的問(wèn)題．