Question

3．求和：
（1）求數(shù)列9，99，999，…的前n項和S_n；
（2）求數(shù)列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的前n項和；
（3）求sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°的值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列9=10-1，99=10²-1，999=10³-1，…，可得a_n=10ⁿ-1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（2）由$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…，而1，4，7，10，…，是公差為3的等差數(shù)列a_n，可得通項公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．再利用“裂項求和”方法即可得出．
（3）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式的平方關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列9=10-1，99=10²-1，999=10³-1，…，可得a_n=10ⁿ-1．
∴數(shù)列的前n項和S_n=（10+10²+…+10ⁿ）-n=$\frac{10（1{0}^{n}-1）}{10-1}$-n=$\frac{10}{9}$（10ⁿ-1）-n．
（2）由$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…，而1，4，7，10，…，是公差為3的等差數(shù)列a_n，可得通項公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．
∴數(shù)列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的第n項為：$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，可化為：$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴數(shù)列$\frac{1}{1×4}$，$\frac{1}{4×7}$，$\frac{1}{7×10}$，…的前n項和=$\frac{1}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{3n+1}$．
（3）∵sin²α+sin²（90^°-α）=sin²α+cos²α=1，
∴sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°=（sin²1°+sin²89°）+（sin²2°+sin²89°）+…（sin²44^°+sin²46^°）+sin²45^°=44+$\frac{1}{2}$=$\frac{89}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“裂項求和”方法、三角函數(shù)的基本關(guān)系式的平方關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．