【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,點E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求EF與平面PDB所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:取CB的中點G,連結(jié)DG,因為AD∥BG且AD=BD,

所以四邊形ABGD為平行四邊形,

所以DG=AB=12,

又因為AB⊥AD,

所以DG⊥AD,

又PD⊥平面ABCD,

故以點D原點建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為BC=10,AD=5,PD=8,

所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,﹣5,0),

因為E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點,

所以E(6,﹣2.5,0),F(xiàn)(6,2.5,4),

因為PD⊥平面ABCD,DG平面ABCD,

所以PD⊥DG,

又因為DG⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD平面PAD,

所以DG⊥平面PAD,

所以 =(12,0,0)為平面PAD的一個法向量,

=(0,5,4), =0,

所以 ,

又EF平面PAD,所以EF∥平面PAD


(2)解:設(shè)平面PAD的法向量為 =(x,y,z),

所以 ,即 ,即 ,

令x=5,則 =(5,﹣12,0)

所以EF與平面PDB所成角θ滿足:

sinθ= = =

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為


【解析】取CB的中點G,連結(jié)DG,建立空間直角坐標系:(1) =(12,0,0)為平面PAD的一個法向量,根據(jù) ,進而可證EF∥面PAD(2)平面PAD的法向量 =(5,﹣12,0),代和線面夾角公式,可得答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:

總計

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計

60

50

110

算得,

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

參照附表,得到的正確結(jié)論是(
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

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甲:9,10,11,12,10,20

乙:8,14,13,10,12,21.

(1)在給出的方框內(nèi)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;

(2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)與方差,并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況.

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【題目】從裝有n+1個球(其中n個白球,1個黑球)的口袋中取出m個球(0<m≤n,m,n∈N),共有 種取法.在這 種取法中,可以分成兩類:一類是取出的m個球全部為白球,共有 種取法;另一類是取出的m個球有m﹣1個白球和1個黑球,共有 種取法.顯然 ,即有等式: 成立.試根據(jù)上述思想化簡下列式子: =

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【題目】綜合題。
(1)四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中,則恰有一個空盒的放法有多少種?
(2)設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球,并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同,問有多少種不同的方法?

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A.16,32
B.8,32
C.8,8
D.32,32

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A.
B.
C.
D.

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