Question

11．已知曲線C₁、C₂的極坐標方程分別為ρ=2sinθ，$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-1，則曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最短距離為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 把極坐標方程分別化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離d，即可得出最小距離為d-r．

解答 解：曲線C₁的極坐標方程分別為ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=2y，配方為：x²+（y-1）²=1，可得圓心C₁（0，1），半徑r=1．
曲線C₂的極坐標方程$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-1，展開為：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）=-1，可得直角坐標方程：x+y+1=0．
則圓心C₁（0，1）到直線C₂的距離d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的最短距離為$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．